Regole di derivazione - Regole e formule per le derivazioni

Regola della derivata prima: regola del fattore o regola della potenza

Lo scopo della regola del fattore e della potenza è quello di derivare una funzione come y = ^x3, y = ^5x4 e y = 8x. La regola di base è: y = ^xz derivata y' = z - ^xz-1.

Istruzioni passo per passo:

• Passo 1: Scrivere la funzione y = ....
• Fase 2: Scrivere la derivata y = .... sotto di essa.
• Passo 3: L'esponente di y viene scritto dopo la derivata y' = ....
• Fase 4: Si scrive la x
• Fase 5: Per la derivata y' = ...., l'esponente viene ridotto esattamente di uno (il fattore viene sempre mantenuto).

Esempio:

f (x) = y (x) = ^x3
f' (x) = y' (x) = ^3x2

Seconda regola di derivazione: regola della somma

La regola della somma significa che la somma finita di più funzioni può essere differenziata passo dopo passo. Ecco alcuni esempi per illustrarla:

1° esempio:

f (x) = y (x) = ^{x4 x4}
f' (x) = y' (x) = ^{4x3 4x3}

2° esempio:

f (x) = y (x) = 5x ^8x2
f' (x) = y' (x) = 5 8 - 2 - x

3° esempio:

f (x) = y (x) = ^{2x4 11x5}
f' (x) = y' (x) = 2 - ^4x3 11 - 5 - ^x4

Terza regola di derivazione: regola del prodotto

La regola del prodotto si usa solo se si ha una funzione sotto forma di prodotto. La forma abbreviata della regola del prodotto è la seguente:

f = y = a - b
f' = y' = a' - b' - a

Di conseguenza, la funzione può essere suddivisa in una parte a e in un'altra b. La parte interessata viene quindi derivata, ottenendo la derivata y' . Ecco un esempio che aiuta a comprendere la regola del prodotto.

Esempio:

y (x) = ( ^8x5 - 4x ) ( 6x )

a = ^8x5 - 4x
a' = ^40x4 - 4

b = 6x
b' = 6

y' (x) = a' - b' - a
y' (x) = ( ^40x4 - 4 ) ( 6x ) ( 6 ) ( ^8x5 - 4x )

Quarta regola di derivazione: regola del quoziente

La regola del quoziente viene sempre utilizzata per derivare le frazioni. La forma breve di questa regola è la seguente:

y (x) = a : b

y' (x) = (a' - b - b' - a) : ^b2

Il numeratore è etichettato come a, mentre il denominatore è etichettato come b. Se a viene poi derivato, entrambi vengono derivati e inseriti in y'. Segue un esempio della regola del quoziente per illustrare questo concetto:

y (x) = ^(3x5 8) : (2x 6)

a = ^3x5 8
a' = ^15x4

b = 2x 6
b' = 2

y' (x) = (a' - b - b' - a) : ^b2

y' (x) = (^(15x4) * (2x 6) - (2) * ^(3x5 8)) : (2x 6⁾²

Quinta regola di derivazione: utilizzo della regola della catena

Le funzioni semplici possono essere derivate relativamente bene utilizzando le prime quattro regole di derivazione. Tuttavia, quando si tratta di funzioni annidate o composte, le cose cambiano di nuovo. Ad esempio, per derivare una funzione come y = ^e6x, è necessario utilizzare la regola della catena o della sostituzione. È quindi necessario ricordare il seguente principio:

Con la regola della catena, si ottiene un prodotto dalla derivata di una funzione concatenata o composta. Questa si ottiene utilizzando sia la derivata interna che quella esterna.

Ecco un esempio che illustra esattamente il funzionamento della regola della catena:

Esempio: regola della catena

y = ( 4x - 7 )⁹

Istruzioni passo per passo:

• Passo 1: Sostituzione con v = 4x - 7
• Passo 2: La funzione esterna con = ^v9
• Passo 3: La derivata esterna con = ^9v8
• Passo 4: La funzione interna con = 4x - 7
• 5° passo: la derivata interna con = 4
• 6° passo: y' = ^v9 - 4 = ^4v9
• 7° passo: v = 4x - 7 da cui segue y' = 4 ( 4x - 7 )⁹